"Nadie sabe tanto, que todos juntos"

DERIVADAS

Ultimamente nos han preguntado por algunos ejemplos sobre derivas.

La derivada como pendiente de una curva

Para hallar la pendiente de una curva en algún punto hacemos uso de la recta tangente de una curva en un punto.

 La pendiente de la curva en el punto P es la pendiente de la recta tangente en P.

Definición: La pendiente de una curva
 En (x,f(x)) la pendiente m de la gráfica de y = f(x) es igual a la pendiente de su recta tangente en (x,f(x)) y queda determinada por la fórmula:

 
 supuesto que el límite exista.

Para calcular la pendiente de la recta tangente a una curva mediante la definición de límite seguimos los siguientes pasos:

 1) Calcular :

 2) Hacer
 para obtener

 Ejemplo para discusión: Considera la gráfica de y = 3 - x2.

1) Halla la fórmula de la pendiente de la gráfica.

2) Indica cuál es la pendiente en los puntos (0,3) y (-2,-1).

3) Halla la ecuación de la recta tangente para cada uno de los puntos anteriores.

 Nota: Algunas curvas puede que no tengan tangente en cada punto.

 Definición: El límite

se llama derivada de f en x (supuesto que el límite existe) y se denota por f'(x).

La notación f'(x) se lee "f prima de x". También se usa mucho la notación:

 que se lee " la derivada de y respecto a x".
     
       Nota: Una función es derivable en x si existe su derivada en x.

 Ejemplos para discusión: Halla la derivada de:


Nota: En cualquier punto donde la tangente es vertical, la pendiente es infinita; la derivada, por tanto, no existe.

Reglas de Derivación

Ya hemos calculado derivadas a través de la definición de la derivada como límite. Este procedimiento resulta en muchas ocasiones largo y tedioso.

Existen varias reglas que nos permiten calcular la derivada sin usar directamente los límites.

Regla de las constantes: La derivada de una función constante es cero. Esto es, si f(x) = c, para alguna constante c, entonces f'(x) = 0.

 Ejemplos:


Regla de las potencias: Si f es una función diferenciable y f(x) = xn, entones

f'(x) = nxn-1, para cualquier número real n.

Ejemplos:


Regla del producto por un escalar: Si cf(x) es una función diferenciable, entonces


Ejemplos:


Regla de la suma: La derivada de la suma de dos funciones es la suma de las derivadas. Esto es, si f y g

son funciones direrenciales, entonces :

 

Derivadas de orden superior
Como la derivada de una función es otra función, entonces podemos tratar de hallar su derivada. Si hacemos tal cosa, el resultado es de nuevo una función que pudiera ser a su vez derivada. Si continuamos así una y otra vez, tenemos lo que se conoce por derivadas de orden superior.

Por ejemplo, si f(x) = 6x3 - 5x2, entonces la:


 primera derivada es : f'(x) = 18x2 - 10x

segunda derivada es: f"(x) = 36x - 10

tercera derivada es : f'''(x) = 36

cuarta derivada es : f(4)(x) = 0

.
 n-ésima derivada es : f(n) (x) = 0


Ejemplos para discusión:
 1) Si f(x) = -x4 + 2x3 + x + 4, halla f'''(-1).
 2) Halla las primeras cuatro derivadas de :

 Nota: Si f'(x) representa la pendiente de la gráfica de f, entonces f"(x) representa la pendiente de la gráfica de f'. Así también, f'''(x) representa la pendiente de la gráfica de f".

Reglas de Derivación


Regla de las Potencias

Si y = [u(x)]n donde u es una función derivable de x y n es un número real, entonces:

 Derivadas de funciones trigonométricas





Derivadas de funciones trigonométricas


 Derivación implícita

 Hasta el momento las ecuaciones han sido expresadas en forma explícitas. Esto es, la ecuación ha sido expresada respecto a una variable en términos de la otra. Por ejemplo, y = 2x - 3 es una ecuación expresada respecto de y en términos de x.

 Pero existen ecuaciones que no están dadas explícitamente. Por ejemplo, las ecuaciones:

2x + y = 4

xy =1

x2 + y2 = 9

 no están dadas en forma explícita. Tales ecuaciones están expresadas en forma implícita. Para derivar una ecuación implícita no es necesario expresarla en forma explícita. Se puede utilizar un método conocido por derivación implícita. Es un método que consiste en derivar cada término por separado en la ecuación dada.

La notación :

se lee "la derivada de y respecto a x". Para entender cómo hallar la derivada de y con respecto a x implícitamente, se debe observar que la derivación se efectua respecto de x. Esto es, cuando derivamos términos que contienen sólo a x, se deriva como de costumbre, pero al derivar términos con y se aplica la regla de la cadena.